Repaso rápido

Hoja de fórmulas

Las 55 fórmulas que necesitas para el parcial, en una sola página. Toca una técnica para ver su teoría completa.

Fundamentos de Precálculo

Las dos alarmas del dominio

\frac{1}{g(x)} \Rightarrow g(x) \neq 0 \qquad \sqrt{g(x)} \Rightarrow g(x) \geq 0

Denominadores no pueden ser 0; raíces pares no aceptan negativos. Son las dos únicas alarmas en Cálculo I.

Composición

(f \circ g)(x) = f(g(x))

De adentro hacia afuera: primero evalúa

g

, y ese resultado entra a

f

En general

f(g(x)) \neq g(f(x))

: el orden importa.

Álgebra esencial

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Binomio al cuadrado

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

NO es

a^2 + b^2

: el término cruzado

2ab

es el que casi todos olvidan, y el que más límites arruina.

Leyes de los exponentes

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}

Raíces como potencias:

\sqrt{x} = x^{1/2}

\frac{1}{x^n} = x^{-n}

. Reescribir antes de operar.

Suma de fracciones

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

NUNCA sumes denominadores:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}

Trigonometría para Cálculo

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Valores que debes saber de memoria

\sin: \; 0, \;\tfrac{1}{2}, \;\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \;\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \;1 \quad \text{en} \quad 0, \;\tfrac{\pi}{6}, \;\tfrac{\pi}{4}, \;\tfrac{\pi}{3}, \;\tfrac{\pi}{2}

El coseno es la MISMA lista al revés:

\cos 0 = 1

, …,

\cos\frac{\pi}{2} = 0

En ángulo chico, seno chico:

\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}

(no

\frac{\sqrt{3}}{2}

, ese es el coseno).

Identidad pitagórica

\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1

Úsala para cambiar

1 - \cos^2 x

por

\sin^2 x

(y al revés): simplifica casi todo lo trigonométrico.

Tangente

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}

Cuando veas

\tan

en un límite, reescríbela como

\frac{\sin}{\cos}

: casi siempre destraba el problema.

Logaritmos y exponenciales

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Definición: log ↔ exponencial

\log_b(A) = c \;\Longleftrightarrow\; b^{\,c} = A

Léelo en voz alta: "

\log_2 8 = 3

" es "

2

elevado a

3

8

". Esa traducción resuelve casi toda ecuación logarítmica.

La base

b

debe ser positiva y distinta de

1

, y el argumento

A

debe ser

> 0

Propiedades del logaritmo

\log(AB) = \log A + \log B, \quad \log\!\tfrac{A}{B} = \log A - \log B, \quad \log(A^n) = n\log A

Producto→suma, cociente→resta, potencia baja como factor. Sirven para expandir o para compactar.

No aplican a sumas:

\log(A + B) \neq \log A + \log B

Igualar bases (ecuación exponencial)

b^{\,m} = b^{\,n} \;\Longrightarrow\; m = n

Reescribe ambos lados con la misma base y luego iguala los exponentes.

Límites y Continuidad

Sustitución directa

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Sustitución directa

\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

f

es continua en

a

(polinomios, racionales sin cero abajo), el límite es solo evaluar.

Si da

\frac{0}{0}

, eso NO es la respuesta: es la señal de pasar a otra técnica.

Qué hacer según el resultado

\frac{0}{0} \Rightarrow \text{indeterminación} \qquad \frac{k}{0} \Rightarrow \pm\infty \text{ o no existe}

Número real → listo.

\frac{0}{0}

→ factoriza o racionaliza.

\frac{k}{0}

con

k \neq 0

→ analiza signos por lados.

Factorización

Ver teoría

Diferencia de cuadrados

a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)

Aparece en casi todo límite con

\frac{0}{0}

x^2 - 9

x^2 - 4

x - 25

con raíces...

Trinomio simple

x^2 + bx + c = (x+p)(x+q) \quad \text{con } p+q = b,\; pq = c

Busca dos números que multipliquen a

c

y sumen

b

Diferencia de cubos

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

El segundo factor NO es

(a+b)^2

: es

a^2 + ab + b^2

, sin el 2.

Racionalización

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El conjugado elimina la raíz

(\sqrt{u} - v)(\sqrt{u} + v) = u - v^2

El conjugado es el mismo binomio con el signo del medio cambiado: el de

\sqrt{x} - 2

\sqrt{x} + 2

Multiplica arriba y abajo: solo arriba cambia el valor de la fracción.

La receta completa

\frac{\sqrt{u} - v}{w} \cdot \frac{\sqrt{u} + v}{\sqrt{u} + v} = \frac{u - v^2}{w(\sqrt{u} + v)}

Tras racionalizar: factoriza, cancela y sustituye. Vuelve a ser un problema de factorización.

Límite notable:

\sin(x)/x

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El límite notable

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

Vale con cualquier argumento que tienda a 0:

\frac{\sin(u)}{u} \to 1

u \to 0

No es 0 ni

\frac{0}{0}

"sin solución": seno y argumento se anulan al mismo ritmo.

Argumentos distintos

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}

Multiplica y divide para fabricar la forma

\frac{\sin(u)}{u}

: el ratio

\frac{a}{b}

queda afuera.

Los primos del coseno

\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}

Salen del notable multiplicando por el conjugado

1 + \cos x

y usando

\sin^2 x = 1 - \cos^2 x

Límites al infinito

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La regla de los grados

\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + \dots}{b_m x^m + \dots} = \begin{cases} 0 & n < m \\[2pt] \frac{a_n}{b_m} & n = m \\[2pt] \pm\infty & n > m \end{cases}

A largo plazo solo importan los términos de mayor grado: compara

n

contra

m

y listo.

Por qué funciona: dividir por la mayor potencia

\lim_{x \to \infty} \frac{k}{x^p} = 0 \quad (p > 0)

Divide arriba y abajo por la mayor potencia: todo lo que no es líder se vuelve

\frac{k}{x^p} \to 0

Teorema del Sandwich

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El teorema

g(x) \leq f(x) \leq h(x) \;\text{ y }\; \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) = L

Si las dos rebanadas del pan van al mismo sitio, el relleno no tiene escapatoria.

Las DOS cotas deben converger al MISMO valor; si no, el teorema no dice nada.

La jugada típica: acotar el seno

-1 \leq \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \leq 1 \;\Rightarrow\; -x^2 \leq x^2 \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \leq x^2

Seno y coseno SIEMPRE viven entre

-1

1

, sin importar qué locura tengan adentro. Multiplica la desigualdad por el factor de afuera.

Límites laterales

Ver teoría

Cuándo existe el límite

\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L

El límite bilateral existe SOLO si los dos lados llegan al mismo valor.

"El límite por la derecha existe" NO implica que el límite exista: falta el otro lado.

Valor absoluto = analizar por lados

\frac{|x - a|}{x - a} = \begin{cases} 1 & x > a \\ -1 & x < a \end{cases}

|u|

se abre según el signo de

u

|u| = u

u \geq 0

|u| = -u

u < 0

Continuidad

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Las tres condiciones

1)\; f(a) \text{ existe} \qquad 2)\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ existe} \qquad 3)\; \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Chequéalas EN ORDEN: si falla la 1 ó la 2, ni te molestes con la 3.

"Está definida en

a

" no basta: el límite debe existir Y coincidir con el valor.

Tipos de discontinuidad

\text{removible: hueco (límite existe)} \qquad \text{salto: laterales} \neq \qquad \text{esencial: } \pm\infty

Removible = se repara redefiniendo UN punto. Salto y esencial = no hay arreglo.

Hallar k para continuidad (clásico de parcial)

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

En la unión de una piecewise: iguala los dos laterales y despeja

k

Derivadas

La derivada como límite

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La definición

f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

El método es siempre: plantear → expandir → cancelar la

h

→ evaluar el límite.

Sustituir

h = 0

directo SIEMPRE da

\frac{0}{0}

: está diseñada así. Simplifica primero.

De secante a tangente

m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad \xrightarrow{\;h \to 0\;} \quad m_{\text{tan}} = f'(a)

La derivada no cae del cielo: es la pendiente entre dos puntos cuando el segundo se acerca al primero.

Reglas básicas de derivación

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Regla de la potencia

\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}

Baja el exponente, resta uno. Vale para CUALQUIER exponente real: negativo, fraccionario…

Son DOS movimientos:

(x^5)' = 5x^4

, no

x^4

. Olvidar el coeficiente es el error #1.

Linealidad

(c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f + g)' = f' + g'

Deriva término a término; las constantes que multiplican se quedan quietas.

Los casos base

(c)' = 0 \qquad (x)' = 1

Una constante es una recta horizontal (pendiente 0);

y = x

es la recta de pendiente 1.

Recta tangente en x = a

y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

El punto va con

f

, la pendiente va con

f'

. Dos números y una plantilla.

No mezcles: la recta pasa por

(a, f(a))

, NO por

(a, f'(a))

Producto y cociente

Ver teoría

Regla del producto

(f \cdot g)' = f'g + fg'

Deriva uno, deja el otro quieto; repite cambiando de papel; suma.

NO es

f'g'

. Con

f = g = x

eso daría

1

, pero

(x^2)' = 2x

Regla del cociente

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

Arriba primero la derivada del de arriba; abajo el de abajo al cuadrado.

El orden de la resta importa:

f'g - fg'

, no al revés. Y nunca olvides el

g^2

Tres factores

(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'

Un término por factor: en cada uno derivas solo ese y dejas los otros dos quietos.

Regla de la cadena

Ver teoría

La regla

\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Deriva afuera dejando adentro quieto, y multiplica por la derivada de adentro.

El factor

g'(x)

es obligatorio. Olvidarlo es el error más común de toda la unidad.

Cadena con potencia

\big((g(x))^n\big)' = n\,(g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

La regla de la potencia, pero pegándole al final la derivada de la base.

En notación de Leibniz

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}

Las velocidades se multiplican: lo de afuera por lo de adentro.

Es un truco de lectura, no una fracción que se "cancela" de verdad.

Derivadas trascendentes

Ver teoría

Exponenciales

(e^x)' = e^x \qquad (a^x)' = a^x \ln a

La exponencial natural se deriva a sí misma; con otra base, multiplica por el

\ln

de la base.

NO es

x\,a^{x-1}

. La variable está en el exponente, no en la base.

Logaritmos

(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}

El natural da

1/x

limpio; otra base divide además por el

\ln

de la base.

Solo válido para

x > 0

, que es donde el logaritmo existe.

Trigonométricas

(\sin x)' = \cos x \quad (\cos x)' = -\sin x \quad (\tan x)' = \sec^2 x

Seno y coseno se turnan; el coseno se lleva el signo menos.

El menos de

(\cos x)'

es el error más repetido. Derivar coseno te da seno NEGATIVO.

Aplicaciones de la derivada

Ver teoría

Punto crítico

f'(c) = 0 \quad\text{o}\quad f'(c)\ \text{no existe}

Es donde la tangente queda horizontal: el candidato a máximo o mínimo.

Candidato, no garantía. Falta verificar si de verdad es extremo.

Test de la primera derivada

f': +\to- \;\Rightarrow\; \text{máx} \qquad f': -\to+ \;\Rightarrow\; \text{mín}

Mira cómo cambia el signo de f′ alrededor del crítico: de subir a bajar es un pico.

Test de la segunda derivada

f'(c)=0,\ f''(c)>0 \Rightarrow \text{mín} \qquad f''(c)<0 \Rightarrow \text{máx}

Atajo cuando f′(c) = 0: el signo de f″ decide. Positiva sonríe (mín), negativa frunce (máx).

f''(c) = 0

el test no concluye: vuelve al de la primera derivada.

Concavidad e inflexión

f''>0:\ \smile \qquad f''<0:\ \frown

f″ > 0 abre hacia arriba (sonrisa); f″ < 0 hacia abajo (ceño). Donde cambia hay inflexión.

Derivación implícita

Ver teoría

Cada y arrastra dy/dx

\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\cdot\frac{dy}{dx}

Deriva "por fuera" como siempre y multiplica por

\frac{dy}{dx}

. Es la regla de la cadena, porque

y

es función de

x

Si en tu respuesta no quedó ningún

\frac{dy}{dx}

, olvidaste aplicar la cadena a algún término con

y

Potencia de y

\frac{d}{dx}(y^n) = n\,y^{n-1}\frac{dy}{dx}

La regla de la potencia de siempre, pero con el

\frac{dy}{dx}

pegado al final.

Regla de L'Hôpital

Ver teoría

La regla

\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}

Deriva numerador y denominador POR SEPARADO. No es la regla del cociente.

Solo si el límite da

\frac{0}{0}

\frac{\infty}{\infty}

. Verifica ANTES de derivar.

Formas indeterminadas

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty}

Otras formas (

0\cdot\infty

\infty-\infty

) se reescriben como fracción para caer en estas dos.

Diferenciales y aproximación lineal

Ver teoría

El diferencial

dy = f'(x)\,dx

El cambio a lo largo de la tangente cuando avanzas

dx

. Aproxima el cambio real

\Delta y

dy \neq \Delta y

. Son parecidos solo para

dx

pequeño.

Aproximación lineal

L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)

La recta tangente en

a

como función. Estima

f(x)

para

x

cerca de

a

Solo cerca de

a

: lejos, la recta y la curva se separan.