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La derivada como límite · Numa
Lecciones
Teoría
La derivada como límite
Técnica de cálculo
La derivada como límite
La pendiente de una curva, punto por punto.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Plantea
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
\frac{f(x+h) - f(x)}{h}
h
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
y sustituye la función.
2
Expande el binomio completo:
(
x
+
h
)
2
=
x
2
+
2
x
h
+
h
2
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
(
x
+
h
)
2
=
x
2
+
2
x
h
+
h
2
(con el término cruzado).
3
Cancela lo que se repite, factoriza la
h
h
h
y cancélala con el denominador.
4
Evalúa el límite
h
→
0
h \to 0
h
→
0
: los términos con
h
h
h
sobreviviente mueren.
2.
Fórmulas clave
La definición
f
′
(
a
)
=
lim
h
→
0
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}
f
′
(
a
)
=
h
→
0
lim
h
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
El método es siempre: plantear → expandir → cancelar la
h
h
h
→ evaluar el límite.
Sustituir
h
=
0
h = 0
h
=
0
directo SIEMPRE da
0
0
\frac{0}{0}
0
0
: está diseñada así. Simplifica primero.
Ver ejemplo
De secante a tangente
m
sec
=
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
→
h
→
0
m
tan
=
f
′
(
a
)
m_{\text{sec}} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \quad \xrightarrow{\;h \to 0\;} \quad m_{\text{tan}} = f'(a)
m
sec
=
h
f
(
a
+
h
)
−
f
(
a
)
h
→
0
m
tan
=
f
′
(
a
)
La derivada no cae del cielo: es la pendiente entre dos puntos cuando el segundo se acerca al primero.
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Velo en una gráfica
4.
Error clásico
"Sustituyo
h
=
0
h = 0
h
=
0
en
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
h
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
, da
0
0
\frac{0}{0}
0
0
, así que la derivada no existe."
¿Esto está bien?
5.
Ejemplo resuelto
Calcula
f
′
(
x
)
f'(x)
f
′
(
x
)
para
f
(
x
)
=
x
2
f(x) = x^2
f
(
x
)
=
x
2
usando la definición
Ver solución paso a paso
6.
Entender la técnica a fondo
▼
7.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
En la definición de derivada, ¿por qué aparece siempre
0
0
\frac{0}{0}
0
0
al sustituir
h
=
0
h = 0
h
=
0
?
A
Porque la derivada no existe en ese punto
B
Porque numerador y denominador se anulan juntos: la fracción compara dos cambios que van a cero
C
Porque la función no es continua
D
Es un error de planteamiento: no debería pasar
Comprueba tu comprensión
Geométricamente,
f
′
(
a
)
f'(a)
f
′
(
a
)
es…
A
La altura de la función en
a
a
a
B
La pendiente de la secante entre
a
a
a
y
a
+
1
a+1
a
+
1
C
La pendiente de la recta tangente en
a
a
a
D
El área bajo la curva hasta
a
a
a
8.
Lecciones con esta técnica
#43
Fácil
Definición de derivada
¿Qué es la derivada? La pendiente que cambia
f
(
x
)
=
x
2
¿cu
a
ˊ
l es la pendiente de
f
en
x
=
1
?
f(x) = x^2 \qquad \text{¿cuál es la pendiente de } f \text{ en } x = 1\,?
f
(
x
)
=
x
2
¿cu
a
ˊ
l es la pendiente de
f
en
x
=
1
?
Definición de la derivada
5 pasos
#44
Medio
Definición de derivada
Calculando la derivada desde la definición
f
(
x
)
=
x
2
f
′
(
x
)
=
?
f(x) = x^2 \qquad f'(x) = \,?
f
(
x
)
=
x
2
f
′
(
x
)
=
?
Definición de la derivada
5 pasos
#45
Medio
Definición de derivada
Derivada de x³ desde la definición
f
(
x
)
=
x
3
f
′
(
x
)
=
?
f(x) = x^3 \qquad f'(x) = \,?
f
(
x
)
=
x
3
f
′
(
x
)
=
?
Definición de la derivada
5 pasos
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