Reglas básicas de derivación

Teoría

1.

¿Cuándo usarlo?

1

Potencias: baja el exponente, resta uno.

(x^5)' = 5x^4

.

2

Reescribe antes de derivar:

\frac{1}{x^3} = x^{-3}

,

\sqrt{x} = x^{1/2}

.

3

Constantes multiplicativas se quedan:

(3x^2)' = 6x

. Constantes sueltas mueren:

(7)' = 0

.

4

Polinomios: término a término, cada signo viaja con su término.

5

Recta tangente en

x=a

: punto

(a, f(a))

, pendiente

f'(a)

, plantilla

y = f(a) + f'(a)(x-a)

.

2.

Fórmulas clave

Regla de la potencia

\frac{d}{dx}\, x^n = n\,x^{n-1}

Baja el exponente, resta uno. Vale para CUALQUIER exponente real: negativo, fraccionario…

Son DOS movimientos:

(x^5)' = 5x^4

, no

x^4

. Olvidar el coeficiente es el error #1.

Linealidad

(c \cdot f)' = c \cdot f' \qquad (f + g)' = f' + g'

Deriva término a término; las constantes que multiplican se quedan quietas.

Los casos base

(c)' = 0 \qquad (x)' = 1

Una constante es una recta horizontal (pendiente 0);

y = x

es la recta de pendiente 1.

Recta tangente en x = a

y = f(a) + f'(a)\,(x - a)

El punto va con

f

, la pendiente va con

f'

. Dos números y una plantilla.

No mezcles: la recta pasa por

(a, f(a))

, NO por

(a, f'(a))

.

Ver hoja de fórmulas completa

3.

Error clásico

"

(x^5)' = x^4

, le resto uno al exponente y ya."

4.

Ejemplo resuelto

Deriva

f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 7x - 5

6.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es la derivada de

\frac{1}{x^2}

?

Comprueba tu comprensión

Para la recta tangente a

f

en

x = a

, ¿qué papel juegan

f(a)

y

f'(a)

?

7.

Lecciones con esta técnica

#46FácilReglas de derivación

La regla de la potencia

\frac{d}{dx}\, x^5 = \,?

Reglas básicas de derivación4 pasos

#47FácilReglas de derivación

Constantes, sumas y restas

\frac{d}{dx}\left(3x^2 + 5x - 7\right)

Reglas básicas de derivación5 pasos

#48FácilReglas de derivación

Derivada de un polinomio completo

\frac{d}{dx}\left(2x^4 - 3x^3 + x^2 - 5x + 1\right)

Reglas básicas de derivación4 pasos

#49MedioReglas de derivación

Exponentes negativos y fraccionarios

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^3}\right)

Reglas básicas de derivación6 pasos

#50MedioReglas de derivación

Ecuación de la recta tangente

\text{Halla la recta tangente a } f(x) = x^2 - 3x + 2 \text{ en } x = 2

Recta tangente4 pasos

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La derivada como límite