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Producto y cociente · Numa
Lecciones
Teoría
Producto y cociente
Técnica de cálculo
Producto y cociente
La derivada de un producto no es el producto de las derivadas.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Producto: deriva el primero por el segundo quieto, suma el primero quieto por la derivada del segundo.
(
x
2
sin
x
)
′
=
2
x
sin
x
+
x
2
cos
x
(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x
(
x
2
sin
x
)
′
=
2
x
sin
x
+
x
2
cos
x
.
2
Cociente: arriba va
f
′
g
−
f
g
′
f'g - fg'
f
′
g
−
f
g
′
(en ESE orden), abajo
g
2
g^2
g
2
. Si inviertes el orden de arriba, el signo te queda al revés.
3
Antes de aplicar la regla, pregúntate si conviene reescribir:
x
3
x
\frac{x^3}{x}
x
x
3
es mejor como
x
2
x^2
x
2
, sin cociente.
4
Con tres factores el patrón se extiende: derivas uno a la vez y dejas los otros dos quietos, luego sumas los tres términos.
2.
Fórmulas clave
Regla del producto
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
(f \cdot g)' = f'g + fg'
(
f
⋅
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
Deriva uno, deja el otro quieto; repite cambiando de papel; suma.
NO es
f
′
g
′
f'g'
f
′
g
′
. Con
f
=
g
=
x
f = g = x
f
=
g
=
x
eso daría
1
1
1
, pero
(
x
2
)
′
=
2
x
(x^2)' = 2x
(
x
2
)
′
=
2
x
.
Ver 2 ejemplos
1 práctica
Regla del cociente
(
f
g
)
′
=
f
′
g
−
f
g
′
g
2
\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}
(
g
f
)
′
=
g
2
f
′
g
−
f
g
′
Arriba primero la derivada del de arriba; abajo el de abajo al cuadrado.
El orden de la resta importa:
f
′
g
−
f
g
′
f'g - fg'
f
′
g
−
f
g
′
, no al revés. Y nunca olvides el
g
2
g^2
g
2
.
Ver ejemplo
Tres factores
(
f
g
h
)
′
=
f
′
g
h
+
f
g
′
h
+
f
g
h
′
(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'
(
f
g
h
)
′
=
f
′
g
h
+
f
g
′
h
+
f
g
h
′
Un término por factor: en cada uno derivas solo ese y dejas los otros dos quietos.
Ver ejemplo
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Error clásico
"
(
f
g
)
′
=
f
′
⋅
g
′
(fg)' = f' \cdot g'
(
f
g
)
′
=
f
′
⋅
g
′
, derivo cada uno y los multiplico."
¿Esto está bien?
4.
Ejemplo resuelto
Deriva
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}
f
(
x
)
=
x
2
+
1
x
Ver solución paso a paso
5.
Entender la técnica a fondo
▼
6.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
¿Cuál es la derivada de
f
(
x
)
=
x
2
cos
x
f(x) = x^2 \cos x
f
(
x
)
=
x
2
cos
x
?
A
2
x
⋅
(
−
sin
x
)
2x \cdot (-\sin x)
2
x
⋅
(
−
sin
x
)
B
2
x
cos
x
−
x
2
sin
x
2x\cos x - x^2\sin x
2
x
cos
x
−
x
2
sin
x
C
2
x
cos
x
+
x
2
sin
x
2x\cos x + x^2\sin x
2
x
cos
x
+
x
2
sin
x
D
2
x
sin
x
2x \sin x
2
x
sin
x
Comprueba tu comprensión
En
(
f
g
)
′
\left(\frac{f}{g}\right)'
(
g
f
)
′
, ¿qué pasa si escribes el numerador como
f
g
′
−
f
′
g
fg' - f'g
f
g
′
−
f
′
g
?
A
Da igual, la resta es conmutativa
B
Te queda el resultado con el signo cambiado
C
Hay que dividir por
g
g
g
en vez de
g
2
g^2
g
2
D
Solo cambia si
g
g
g
es negativo
7.
Lecciones con esta técnica
#63
Medio
Producto y cociente
La regla del producto
d
d
x
(
x
2
sin
x
)
=
?
\frac{d}{dx}\,\big(x^2 \sin x\big) = \,?
d
x
d
(
x
2
sin
x
)
=
?
Regla del producto y del cociente
4 pasos
#64
Difícil
Producto y cociente
Regla del producto: tres factores
d
d
x
(
x
2
e
x
cos
x
)
=
?
\frac{d}{dx}\,\big(x^2 e^x \cos x\big) = \,?
d
x
d
(
x
2
e
x
cos
x
)
=
?
Regla del producto y del cociente
3 pasos
#65
Medio
Producto y cociente
La regla del cociente
d
d
x
(
x
2
+
1
x
−
3
)
=
?
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2+1}{x-3}\right) = \,?
d
x
d
(
x
−
3
x
2
+
1
)
=
?
Regla del producto y del cociente
4 pasos
#66
Medio
Producto y cociente
Cociente con trigonométricas: de dónde sale sec²x
d
d
x
tan
x
=
?
\frac{d}{dx}\,\tan x = \,?
d
x
d
tan
x
=
?
Regla del producto y del cociente
4 pasos
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