Aplicaciones de la derivada

Teoría

1.

¿Cuándo usarlo?

1

Puntos críticos: resuelve

f'(x) = 0

(y mira dónde

f'

no existe). Son los candidatos a extremo.

2

Crecimiento: donde

f'(x) > 0

la función crece, donde

f'(x) < 0

decrece. Pruébalo con un punto de cada intervalo.

3

Máx o mín (test de la primera derivada): si

f'

pasa de

+

a

-

hay máximo; de

-

a

+

hay mínimo.

4

Concavidad:

f''(x) > 0

cóncava hacia arriba,

f''(x) < 0

hacia abajo. Donde cambia hay punto de inflexión.

5

Optimización: escribe la cantidad a optimizar, usa la restricción para dejarla en una sola variable, deriva e iguala a cero.

2.

Fórmulas clave

Punto crítico

f'(c) = 0 \quad\text{o}\quad f'(c)\ \text{no existe}

Es donde la tangente queda horizontal: el candidato a máximo o mínimo.

Candidato, no garantía. Falta verificar si de verdad es extremo.

Test de la primera derivada

f': +\to- \;\Rightarrow\; \text{máx} \qquad f': -\to+ \;\Rightarrow\; \text{mín}

Mira cómo cambia el signo de f′ alrededor del crítico: de subir a bajar es un pico.

Test de la segunda derivada

f'(c)=0,\ f''(c)>0 \Rightarrow \text{mín} \qquad f''(c)<0 \Rightarrow \text{máx}

Atajo cuando f′(c) = 0: el signo de f″ decide. Positiva sonríe (mín), negativa frunce (máx).

Si

f''(c) = 0

el test no concluye: vuelve al de la primera derivada.

Concavidad e inflexión

f''>0:\ \smile \qquad f''<0:\ \frown

f″ > 0 abre hacia arriba (sonrisa); f″ < 0 hacia abajo (ceño). Donde cambia hay inflexión.

Ver hoja de fórmulas completa

3.

Velo en una gráfica

4.

Error clásico

"

f'(c) = 0

, entonces en

c

hay un máximo."

5.

Ejemplo resuelto

Encuentra y clasifica los puntos críticos de

f(x) = x^3 - 3x

7.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

Si

f'(x) > 0

en todo un intervalo, ¿qué hace la función ahí?

Comprueba tu comprensión

En un punto crítico

c

,

f''(c) < 0

. ¿Qué hay en

c

?

8.

Lecciones con esta técnica

#73FácilAplicaciones de la derivada

Puntos críticos: dónde f′ = 0

\text{Encuentra los puntos críticos de } f(x) = x^3 - 3x

Aplicaciones de la derivada4 pasos

#74MedioAplicaciones de la derivada

Crecimiento y decrecimiento

\text{¿En qué intervalos crece y en cuáles decrece } f(x) = x^3 - 3x\text{?}

Aplicaciones de la derivada4 pasos

#75MedioAplicaciones de la derivada

Máximos y mínimos relativos

\text{Halla y clasifica los extremos de } f(x) = x^3 - 3x

Aplicaciones de la derivada4 pasos

#76MedioAplicaciones de la derivada

Concavidad y puntos de inflexión

\text{Estudia la concavidad de } f(x) = x^3 - 3x \text{ y halla su inflexión}

Aplicaciones de la derivada4 pasos

#77MedioAplicaciones de la derivada

Test de la segunda derivada

\text{Clasifica los críticos de } f(x) = x^3 - 3x \text{ usando } f''

Aplicaciones de la derivada3 pasos

#80DifícilAplicaciones de la derivada

Análisis completo de una función

\text{Analiza } f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\text{: dominio, crecimiento, extremos, concavidad}

Aplicaciones de la derivada4 pasos

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