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Derivación implícita · Numa
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Teoría
Derivación implícita
Técnica de cálculo
Derivación implícita
Deriva sin despejar: trata la y como una función escondida de x.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
La ecuación mezcla
x
x
x
e
y
y
y
y no puedes (o no quieres) despejar
y
y
y
: círculos, elipses, curvas implícitas.
2
Te piden la pendiente o la recta tangente en un punto de una curva que no es una función.
3
Aparecen potencias, productos o funciones de
y
y
y
(
y
2
y^2
y
2
,
x
y
xy
x
y
,
sin
y
\sin y
sin
y
): cada una arrastra su
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
.
4
Como paso previo a razones de cambio relacionadas, donde derivas respecto al tiempo (mismo mecanismo, otra variable).
2.
Fórmulas clave
Cada y arrastra dy/dx
d
d
x
[
f
(
y
)
]
=
f
′
(
y
)
⋅
d
y
d
x
\frac{d}{dx}\big[f(y)\big] = f'(y)\cdot\frac{dy}{dx}
d
x
d
[
f
(
y
)
]
=
f
′
(
y
)
⋅
d
x
d
y
Deriva "por fuera" como siempre y multiplica por
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
. Es la regla de la cadena, porque
y
y
y
es función de
x
x
x
.
Si en tu respuesta no quedó ningún
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
, olvidaste aplicar la cadena a algún término con
y
y
y
.
Ver 2 ejemplos
1 práctica
Potencia de y
d
d
x
(
y
n
)
=
n
y
n
−
1
d
y
d
x
\frac{d}{dx}(y^n) = n\,y^{n-1}\frac{dy}{dx}
d
x
d
(
y
n
)
=
n
y
n
−
1
d
x
d
y
La regla de la potencia de siempre, pero con el
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
pegado al final.
Ver ejemplo
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Velo en una gráfica
4.
Error clásico
"Derivo
y
2
y^2
y
2
y me da
2
y
2y
2
y
." (y sigo con
2
x
+
2
y
=
0
2x + 2y = 0
2
x
+
2
y
=
0
)
¿Esto está bien?
5.
Ejemplo resuelto
Halla
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
si
y
2
=
x
y^2 = x
y
2
=
x
Ver solución paso a paso
6.
Entender la técnica a fondo
▼
7.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
Al derivar
y
4
y^4
y
4
respecto a
x
x
x
(con
y
y
y
función de
x
x
x
), ¿qué obtienes?
A
4
y
3
4y^3
4
y
3
B
4
y
3
⋅
d
y
d
x
4y^3 \cdot \frac{dy}{dx}
4
y
3
⋅
d
x
d
y
C
4
x
3
4x^3
4
x
3
D
y
4
⋅
d
y
d
x
y^4 \cdot \frac{dy}{dx}
y
4
⋅
d
x
d
y
Comprueba tu comprensión
¿Por qué aparece el factor
d
y
d
x
\frac{dy}{dx}
d
x
d
y
al derivar términos con
y
y
y
?
A
Por la regla del producto
B
Porque
y
y
y
es una función de
x
x
x
, así que es la regla de la cadena
C
Es una convención de notación, no significa nada
D
Porque
y
y
y
es una constante
8.
Lecciones con esta técnica
#81
Medio
Derivación implícita
Derivación implícita: cuando y no está despejada
Halla
d
y
d
x
si
x
2
+
y
2
=
25
\text{Halla } \frac{dy}{dx} \text{ si } x^2 + y^2 = 25
Halla
d
x
d
y
si
x
2
+
y
2
=
25
Derivación implícita
6 pasos
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