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Teorema del Sandwich · Numa
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Teoría
Teorema del Sandwich
Técnica de cálculo
Teorema del Sandwich
Si puedes acotar una función entre dos, puedes concluir su límite.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Ves
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
f(x) \cdot g(x)
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
donde
g
g
g
oscila (
sin
\sin
sin
,
cos
\cos
cos
) y
f
→
0
f \to 0
f
→
0
.
2
La acotación clave:
−
∣
f
(
x
)
∣
≤
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
∣
f
(
x
)
∣
-|f(x)| \leq f(x)g(x) \leq |f(x)|
−
∣
f
(
x
)
∣
≤
f
(
x
)
g
(
x
)
≤
∣
f
(
x
)
∣
(porque
∣
g
∣
≤
1
|g| \leq 1
∣
g
∣
≤
1
).
3
Si
∣
f
(
x
)
∣
→
0
|f(x)| \to 0
∣
f
(
x
)
∣
→
0
, ambas cotas van a
0
0
0
→ el límite de
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
f(x)g(x) = 0
f
(
x
)
g
(
x
)
=
0
.
4
Primero identifica las cotas, luego verifica que convergen al mismo valor.
2.
Fórmulas clave
El teorema
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
y
lim
x
→
a
g
(
x
)
=
lim
x
→
a
h
(
x
)
=
L
⇒
lim
x
→
a
f
(
x
)
=
L
g(x) \leq f(x) \leq h(x) \;\text{ y }\; \lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \;\Rightarrow\; \lim_{x \to a} f(x) = L
g
(
x
)
≤
f
(
x
)
≤
h
(
x
)
y
x
→
a
lim
g
(
x
)
=
x
→
a
lim
h
(
x
)
=
L
⇒
x
→
a
lim
f
(
x
)
=
L
Si las dos rebanadas del pan van al mismo sitio, el relleno no tiene escapatoria.
Las DOS cotas deben converger al MISMO valor; si no, el teorema no dice nada.
La jugada típica: acotar el seno
−
1
≤
sin
(
1
x
)
≤
1
⇒
−
x
2
≤
x
2
sin
(
1
x
)
≤
x
2
-1 \leq \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \leq 1 \;\Rightarrow\; -x^2 \leq x^2 \sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \leq x^2
−
1
≤
sin
(
x
1
)
≤
1
⇒
−
x
2
≤
x
2
sin
(
x
1
)
≤
x
2
Seno y coseno SIEMPRE viven entre
−
1
-1
−
1
y
1
1
1
, sin importar qué locura tengan adentro. Multiplica la desigualdad por el factor de afuera.
Ver ejemplo
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Velo en una gráfica
4.
Error clásico
"La función
x
sin
(
1
/
x
)
x\sin(1/x)
x
sin
(
1/
x
)
oscila, entonces el límite no existe."
¿Esto está bien?
5.
Ejemplo resuelto
Calcula
lim
x
→
0
x
2
sin
(
1
x
)
\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\tfrac{1}{x}\right)
lim
x
→
0
x
2
sin
(
x
1
)
Ver solución paso a paso
6.
Entender la técnica a fondo
▼
7.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
¿Cuándo puedes usar el teorema del Sandwich?
A
Siempre que haya un seno o coseno
B
Cuando atrapas la función entre dos cotas que convergen al MISMO límite
C
Cuando la sustitución da
0
0
\frac{0}{0}
0
0
D
Solo cuando
x
→
∞
x \to \infty
x
→
∞
8.
Lecciones con esta técnica
#19
Difícil
Teorema del Sandwich
Teorema del Sandwich
lim
x
→
0
x
⋅
sin
(
1
x
)
\lim_{x \to 0} x \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)
x
→
0
lim
x
⋅
sin
(
x
1
)
Teorema del Sandwich y continuidad
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