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Racionalización · Numa
Lecciones
Teoría
Racionalización
Técnica de cálculo
Racionalización
El conjugado transforma una raíz problemática en álgebra manejable.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Obtuviste
0
0
\frac{0}{0}
0
0
y hay
\sqrt{\ }
en el numerador o denominador.
2
Multiplica arriba
y
abajo por el conjugado de la expresión con raíz.
3
Aplica diferencia de cuadrados:
(
u
−
v
)
(
u
+
v
)
=
u
−
v
2
(\sqrt{u} - v)(\sqrt{u} + v) = u - v^2
(
u
−
v
)
(
u
+
v
)
=
u
−
v
2
.
4
El resultado no tendrá raíces. Factoriza y cancela normalmente.
2.
Fórmulas clave
El conjugado elimina la raíz
(
u
−
v
)
(
u
+
v
)
=
u
−
v
2
(\sqrt{u} - v)(\sqrt{u} + v) = u - v^2
(
u
−
v
)
(
u
+
v
)
=
u
−
v
2
El conjugado es el mismo binomio con el signo del medio cambiado: el de
x
−
2
\sqrt{x} - 2
x
−
2
es
x
+
2
\sqrt{x} + 2
x
+
2
.
Multiplica arriba
y
abajo: solo arriba cambia el valor de la fracción.
Ver 3 ejemplos
1 práctica
La receta completa
u
−
v
w
⋅
u
+
v
u
+
v
=
u
−
v
2
w
(
u
+
v
)
\frac{\sqrt{u} - v}{w} \cdot \frac{\sqrt{u} + v}{\sqrt{u} + v} = \frac{u - v^2}{w(\sqrt{u} + v)}
w
u
−
v
⋅
u
+
v
u
+
v
=
w
(
u
+
v
)
u
−
v
2
Tras racionalizar: factoriza, cancela y sustituye. Vuelve a ser un problema de factorización.
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Error clásico
"Multiplico el numerador por
(
x
+
2
)
(\sqrt{x} + 2)
(
x
+
2
)
para eliminar la raíz."
¿Esto está bien?
4.
Ejemplo resuelto
Calcula
lim
x
→
4
x
−
2
x
−
4
\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}
lim
x
→
4
x
−
4
x
−
2
Ver solución paso a paso
5.
Entender la técnica a fondo
▼
6.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
¿Cuál es el conjugado de
x
+
1
−
3
\sqrt{x+1} - 3
x
+
1
−
3
?
A
x
+
1
+
3
\sqrt{x+1} + 3
x
+
1
+
3
B
3
−
x
+
1
3 - \sqrt{x+1}
3
−
x
+
1
C
−
x
+
1
−
3
-\sqrt{x+1} - 3
−
x
+
1
−
3
D
x
−
1
+
3
\sqrt{x-1} + 3
x
−
1
+
3
Comprueba tu comprensión
¿Por qué es válido multiplicar la fracción por
x
+
2
x
+
2
\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+2}
x
+
2
x
+
2
?
A
Porque la raíz siempre es positiva
B
Porque es multiplicar por 1: el valor no cambia, solo la forma
C
Porque el límite ignora las constantes
D
No es válido: cambia el valor de la fracción
7.
Lecciones con esta técnica
#14
Medio
Racionalización
Racionalización con conjugado
lim
x
→
0
x
+
1
−
1
x
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}
x
→
0
lim
x
x
+
1
−
1
Racionalización de límites
4 pasos
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Límite notable:
sin
(
x
)
/
x
\sin(x)/x
sin
(
x
)
/
x