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Límite notable: $\sin(x)/x$ · Numa
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Teoría
Límite notable: $\sin(x)/x$
Técnica de cálculo
Límite notable:
sin
(
x
)
/
x
\sin(x)/x
sin
(
x
)
/
x
El límite que no puedes calcular con álgebra
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Ves
sin
(
u
)
u
\frac{\sin(u)}{u}
u
s
i
n
(
u
)
con el mismo argumento arriba y abajo → el límite es
1
1
1
.
2
Ves
sin
(
a
x
)
b
x
\frac{\sin(ax)}{bx}
b
x
s
i
n
(
a
x
)
→ reorganiza:
a
b
⋅
sin
(
a
x
)
a
x
→
a
b
\frac{a}{b} \cdot \frac{\sin(ax)}{ax} \to \frac{a}{b}
b
a
⋅
a
x
s
i
n
(
a
x
)
→
b
a
.
3
Ves
sin
(
a
x
)
sin
(
b
x
)
\frac{\sin(ax)}{\sin(bx)}
s
i
n
(
b
x
)
s
i
n
(
a
x
)
→ multiplica y divide para crear dos formas
sin
(
u
)
u
\frac{\sin(u)}{u}
u
s
i
n
(
u
)
.
4
Si el argumento no va a
0
0
0
, el límite notable no aplica directamente.
2.
Fórmulas clave
El límite notable
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
x
→
0
lim
x
sin
x
=
1
Vale con cualquier argumento que tienda a 0:
sin
(
u
)
u
→
1
\frac{\sin(u)}{u} \to 1
u
s
i
n
(
u
)
→
1
si
u
→
0
u \to 0
u
→
0
.
No es 0 ni
0
0
\frac{0}{0}
0
0
"sin solución": seno y argumento se anulan al mismo ritmo.
Ver ejemplo
Argumentos distintos
lim
x
→
0
sin
(
a
x
)
b
x
=
a
b
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{bx} = \frac{a}{b}
x
→
0
lim
b
x
sin
(
a
x
)
=
b
a
Multiplica y divide para fabricar la forma
sin
(
u
)
u
\frac{\sin(u)}{u}
u
s
i
n
(
u
)
: el ratio
a
b
\frac{a}{b}
b
a
queda afuera.
Ver 3 ejemplos
1 práctica
Los primos del coseno
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0 \qquad \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
x
→
0
lim
x
1
−
cos
x
=
0
x
→
0
lim
x
2
1
−
cos
x
=
2
1
Salen del notable multiplicando por el conjugado
1
+
cos
x
1 + \cos x
1
+
cos
x
y usando
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
\sin^2 x = 1 - \cos^2 x
sin
2
x
=
1
−
cos
2
x
.
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Velo en una gráfica
4.
Error clásico
"
sin
(
0
)
0
=
0
0
=
0
\frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} = 0
0
s
i
n
(
0
)
=
0
0
=
0
"
¿Esto está bien?
5.
Ejemplo resuelto
Calcula
lim
x
→
0
sin
(
5
x
)
3
x
\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{3x}
lim
x
→
0
3
x
sin
(
5
x
)
Ver solución paso a paso
6.
Entender la técnica a fondo
▼
7.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
¿Cuánto vale
lim
x
→
0
sin
(
7
x
)
2
x
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{2x}
lim
x
→
0
2
x
s
i
n
(
7
x
)
?
A
1
1
1
B
7
2
\frac{7}{2}
2
7
C
2
7
\frac{2}{7}
7
2
D
0
0
0
Comprueba tu comprensión
¿Por qué
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
lim
x
→
0
x
s
i
n
x
=
1
y no
0
0
0
?
A
Porque
sin
(
0
)
=
1
\sin(0) = 1
sin
(
0
)
=
1
B
Porque el seno y su argumento se anulan al mismo ritmo cerca de 0
C
Porque se cancela el seno con la
x
x
x
D
Es una convención: se define así
8.
Lecciones con esta técnica
#15
Fácil
Límite notable
El límite más famoso: sen(x)/x
lim
x
→
0
sin
x
x
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
x
→
0
lim
x
sin
x
Límites trigonométricos
3 pasos
#16
Difícil
Límite notable
Senos contra senos
lim
x
→
0
sin
5
x
sin
2
x
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sin 2x}
x
→
0
lim
sin
2
x
sin
5
x
Límites trigonométricos
3 pasos
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