Numa: Aprende a leer matemáticas, desde los fundamentos.

Lecciones

Teoría

Continuidad

1.

¿Cuándo usarlo?

1

Verificar continuidad en un punto: aplica las tres condiciones, una por una.

2

Clasificar una discontinuidad: ¿qué condición falla y cómo? Eso te da el tipo.

3

Encontrar un parámetro (

k

,

c

, etc.) que haga continua a una piecewise: iguala los laterales y

f(a)

en el punto de unión.

4

Antes de derivar: una función solo puede ser derivable donde es continua.

5

Forma

\frac{0}{0}

al sustituir: candidato a discontinuidad removible (si el límite existe).

6

Forma

\frac{\text{número}}{0}

al sustituir: discontinuidad esencial (asintótica).

2.

Fórmulas clave

Las tres condiciones

1)\; f(a) \text{ existe} \qquad 2)\; \lim_{x \to a} f(x) \text{ existe} \qquad 3)\; \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

Chequéalas EN ORDEN: si falla la 1 ó la 2, ni te molestes con la 3.

"Está definida en

a

" no basta: el límite debe existir Y coincidir con el valor.

Tipos de discontinuidad

\text{removible: hueco (límite existe)} \qquad \text{salto: laterales} \neq \qquad \text{esencial: } \pm\infty

Removible = se repara redefiniendo UN punto. Salto y esencial = no hay arreglo.

Hallar k para continuidad (clásico de parcial)

\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

En la unión de una piecewise: iguala los dos laterales y despeja

k

.

Ver hoja de fórmulas completa

3.

Velo en una gráfica

4.

Error clásico

"

f(a)

está definida, entonces

f

es continua en

a

."

5.

Ejemplo resuelto

Halla

k

para que

f(x) = \begin{cases} x + k & x < 2 \\ 3x - 1 & x \geq 2 \end{cases}

sea continua en

x = 2

7.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

f(2) = 5

y

\lim_{x \to 2} f(x) = 3

. ¿Es

f

continua en

x = 2

?

Comprueba tu comprensión

¿Cuál discontinuidad se puede REPARAR redefiniendo un solo punto?

8.

Lecciones con esta técnica

#26FácilContinuidad

Las tres condiciones de continuidad

f(x) = x^2 + 1

Continuidad4 pasos

#27MedioContinuidad

Discontinuidad removible (el hueco)

f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}

Continuidad4 pasos

#28MedioContinuidad

Discontinuidad de salto

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 1 \\ x + 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Continuidad4 pasos

#29MedioContinuidad

Discontinuidad esencial (asintótica)

f(x) = \frac{1}{x - 2}

Continuidad4 pasos

#30DifícilContinuidad

Encontrar k para continuidad

f(x) = \begin{cases} kx + 2 & \text{si } x \leq 2 \\ x^2 & \text{si } x > 2 \end{cases}

Continuidad4 pasos

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