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Diferenciales y aproximación lineal · Numa
Lecciones
Teoría
Diferenciales y aproximación lineal
Técnica de cálculo
Diferenciales y aproximación lineal
La recta tangente no solo mide pendiente: sirve para estimar.
1.
¿Cuándo usarlo?
1
Aproximar un valor difícil (
4.1
\sqrt{4.1}
4.1
): elige un
a
a
a
cercano y fácil, calcula
d
y
=
f
′
(
a
)
d
x
dy = f'(a)\,dx
d
y
=
f
′
(
a
)
d
x
y súmalo a
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
.
2
Propagación de error: si una medida
x
x
x
tiene incertidumbre
d
x
dx
d
x
, el error en
f
f
f
es
d
f
=
f
′
(
x
)
d
x
df = f'(x)\,dx
df
=
f
′
(
x
)
d
x
.
3
Estimar el cambio de una cantidad ante un cambio pequeño de otra, sin recalcular todo.
4
Escribir la recta tangente como función
L
(
x
)
L(x)
L
(
x
)
para reemplazar
f
f
f
cerca de un punto.
2.
Fórmulas clave
El diferencial
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
dy = f'(x)\,dx
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
El cambio a lo largo de la tangente cuando avanzas
d
x
dx
d
x
. Aproxima el cambio real
Δ
y
\Delta y
Δ
y
.
d
y
≠
Δ
y
dy \neq \Delta y
d
y
=
Δ
y
. Son parecidos solo para
d
x
dx
d
x
pequeño.
Ver ejemplo
Aproximación lineal
L
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)
L
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
(
x
−
a
)
La recta tangente en
a
a
a
como función. Estima
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
para
x
x
x
cerca de
a
a
a
.
Solo cerca de
a
a
a
: lejos, la recta y la curva se separan.
Ver ejemplo
Ver hoja de fórmulas completa
3.
Velo en una gráfica
4.
Error clásico
"
d
y
dy
d
y
es el cambio exacto de la función."
¿Esto está bien?
5.
Ejemplo resuelto
Aproxima
101
\sqrt{101}
101
con una aproximación lineal
Ver solución paso a paso
6.
Entender la técnica a fondo
▼
7.
Ponte a prueba
Comprueba tu comprensión
El diferencial
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
dy = f'(x)\,dx
d
y
=
f
′
(
x
)
d
x
representa...
A
el cambio exacto de la función
B
el cambio a lo largo de la recta tangente
C
la segunda derivada
D
el área bajo la curva
Comprueba tu comprensión
La aproximación lineal
L
(
x
)
L(x)
L
(
x
)
de una función en
a
a
a
es...
A
la parábola que toca la curva en
a
a
a
B
la recta tangente en
a
a
a
, escrita como función
C
la derivada de la función
D
siempre exactamente igual a
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
8.
Lecciones con esta técnica
#87
Medio
Diferenciales y aproximación lineal
Diferenciales: dy contra Δy
Aproxima
4.1
usando diferenciales
\text{Aproxima } \sqrt{4.1} \text{ usando diferenciales}
Aproxima
4.1
usando diferenciales
Diferenciales y aproximación lineal
6 pasos
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