El Universo de las Funciones

Dominio y rango

Antes de derivar o integrar una función necesitas saber dónde vive: qué valores de

x

acepta (dominio) y qué valores de

y

produce (rango).

La curva "explota" cerca de

x = 2

: el detector de denominador en acción.

\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}

.

Reglas

Dominio: los x que la fórmula acepta

\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \text{ existe}\}

Pregúntate qué valores rompen la fórmula y exclúyelos. El resto es el dominio.

Por defecto el dominio es todo

\mathbb{R}

, salvo los puntos que prohíbe la fórmula.

Los 3 detectores de problemas

\text{denominador} \neq 0 \qquad \sqrt{\phantom{x}}\,\geq 0 \qquad \ln(\cdot) > 0

División por cero, raíz par de negativo, log de cero o negativo: no hay más casos en Cálculo I.

Con

\dfrac{1}{\sqrt{x}}

las dos condiciones se combinan y el

\geq

se vuelve estricto:

x > 0

.

Rango: la sombra sobre el eje y

\text{Ran}(f) = \{f(x) : x \in \text{Dom}(f)\}

Proyecta la gráfica sobre el eje

y

como una sombra: eso que iluminas es el rango.

El rango no se "despeja" mecánicamente: hay que pensar qué valores de

y

alcanza la función.

Errores clásicos

"

\sqrt{-4} = -2

: la raíz de un negativo es negativa."

"El rango de

f(x) = x^2 + 1

es todos los reales."

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es el dominio de

f(x) = \sqrt{x - 4}

?

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es el rango de

f(x) = x^2 - 3

?

Rectas y pendiente

La función más simple es también la más importante para Cálculo: la derivada es una pendiente. Si lees rectas con fluidez, las derivadas llegan con la mitad del trabajo hecho.

Dos puntos definen la recta. Ponla horizontal (

m=0

), empinada (

m

grande) o bajando (

m<0

) y verifica la ecuación en vivo.

Reglas

Pendiente: cuánto sube por cada paso

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

"Sube sobre avanza": el cambio vertical va arriba, el horizontal abajo.

Usa el mismo orden arriba y abajo: si empiezas con

y_2

en el numerador, abajo va

x_2

primero.

Forma $y = mx + b$: léela de un vistazo

y = mx + b

b

= donde corta el eje

y

;

m

= la inclinación.

m>0

sube,

m<0

baja,

m=0

horizontal.

Si la recta no está despejada, primero deja sola la

y

antes de leer

m

y

b

.

Punto-pendiente: la fórmula de la recta tangente

y - y_1 = m(x - x_1)

Es exactamente la forma de la recta tangente en derivadas:

y = f(a) + f'(a)(x - a)

.

Cuidado con los signos al sustituir puntos de coordenadas negativas:

x - (-2) = x + 2

.

Errores clásicos

"

m = \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}

: las

x

van arriba porque van primero."

"La recta

y = 3

tiene pendiente 3."

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por

(1, 5)

y

(3, 9)

?

Comprueba tu comprensión

En

y = -2x + 7

, ¿qué representa el

7

?

Funciones por partes

Una función puede seguir reglas distintas según el tramo de

x

. Son el escenario natural de los límites laterales: lo que pasa al acercarse por la izquierda vs. por la derecha.

Acércate a

x=1

por la izquierda (terminas en

y=2

, hueco) y por la derecha (empiezas en

y=3

, lleno). Ese desacuerdo es exactamente lo que estudian los límites laterales.

Reglas

Evaluar: primero ubica el tramo

f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x < 1 \\ 4 - x & \text{si } x \geq 1 \end{cases}

Pregúntate qué condición cumple tu

x

y usa solo esa fórmula.

En la frontera manda la rama que tiene el "=" (

\geq

o

\leq

).

La frontera: donde puede haber salto

\text{salto en } x=c \iff \text{las dos ramas no empatan en } c

Evalúa ambas fórmulas en la frontera: si dan distinto, hay salto (hueco en una, punto lleno en la otra).

Que la función esté definida en

c

no quita el salto: el salto es que los dos lados no coinciden.

El valor absoluto ES una función por partes

|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}

Toda expresión con

|\cdot|

se puede partir en dos ramas sin valor absoluto.

El punto de corte es donde lo de adentro del valor absoluto vale 0.

Errores clásicos

"Para

f(1)

evalúo las dos fórmulas y promedio:

f(1) = 2.5

."

"En la gráfica pongo punto lleno en ambas ramas en

x = 1

."

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

Con

f(x) = x+1

si

x<1

, y

f(x) = 4-x

si

x \geq 1

, ¿cuánto vale

f(1)

?

Comprueba tu comprensión

Al graficar esa

f

, ¿dónde va el punto hueco?

Funciones exponencial y logarítmica

Las dos funciones trascendentes más importantes. Que sean inversas una de la otra es justo lo que te deja despejar ecuaciones y calcular límites al infinito.

Con

a > 1

crece; con

0 < a < 1

decae. La naranja es

\log_a x

: el reflejo de

a^x

sobre la recta

y = x

(son inversas).

Reglas

Función exponencial $f(x) = a^x$

f(x) = a^x \quad (a > 0,\; a \neq 1)

Dominio: todos los reales. Rango:

(0, +\infty)

. Nunca llega a 0 ni se vuelve negativa.

La base más común en Cálculo es

e \approx 2.718

. Conocé de memoria:

e^0 = 1

,

e^1 \approx 2.72

.

Función logarítmica $f(x) = \ln x$

f(x) = \ln x = \log_e x \quad \text{Dominio: } (0, +\infty)

\ln(e^x) = x

y

e^{\ln x} = x

: son inversas. Úsalas para "cancelar" una con la otra.

\ln x

solo existe para

x > 0

.

\ln(0)

y

\ln(\text{negativo})

no existen en

\mathbb{R}

.

Errores clásicos

"

\ln(-e) = -\ln(e) = -1

": el logaritmo de negativo es negativo.

"

\ln(x^2) = 2\ln(x)

": sin restricciones.

Transformaciones de funciones

Toda gráfica es la transformación de una función base. Esto te da "ojo clínico" para graficar sin calcular puntos uno a uno.

La punteada es la base

x^2

. Mira cómo

h

mueve al revés de lo que parece,

k

sube/baja y

a

estira o refleja.

Reglas

Transformaciones verticales

f(x) + c \text{ (sube)} \quad f(x) - c \text{ (baja)} \quad c \cdot f(x) \text{ (estira/comprime)} \quad -f(x) \text{ (refleja)}

Las transformaciones verticales actúan sobre el output (resultado). Cambian el eje

y

.

c > 1

estira verticalmente.

0 < c < 1

comprime.

c < 0

además refleja.

Transformaciones horizontales

f(x - c) \text{ (mueve der.)} \quad f(x + c) \text{ (mueve izq.)} \quad f(cx) \text{ (comprime/estira)} \quad f(-x) \text{ (refleja)}

Las transformaciones horizontales van al revés de lo que parece:

f(x-c)

desplaza a la derecha (no izquierda).

La intuición dice: si restas

c

, la gráfica va a la izquierda. Al revés:

f(x-c)

va a la derecha

c

unidades.

Errores clásicos

"

f(x + 3)

desplaza la gráfica 3 unidades a la derecha."

"El dominio de

\sqrt{x-4}

es

[0, +\infty)

": igual que

\sqrt{x}

.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión

Si

f(x) = x^2

, ¿hacia dónde mueve

g(x) = f(x + 3) = (x+3)^2

la parábola?

Composición de funciones

La base de la Regla de la Cadena. Si no entiendes la composición, la derivada de

\sin(x^2)

va a ser un misterio.

Reglas

Definición: la salida de una es la entrada de otra

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Leer de adentro hacia afuera: primero se aplica

g

, luego

f

al resultado.

f \circ g \neq g \circ f

en general. El orden importa.

Descomponer: identificar función interior y exterior

h(x) = f(g(x)) \Rightarrow \text{identificar } g(x) \text{ (interior) y } f(u) \text{ (exterior)}

Preguntate: ¿qué se calcula primero? Eso es

g(x)

(función interior). ¿Qué se hace con ese resultado? Eso es

f

.

Para la Regla de la Cadena necesitarás hacer exactamente esto con derivadas.

Errores clásicos

"

(f \circ g)(x) = f(x) \cdot g(x)

": composición es producto.

"

f(g(x)) = g(f(x))

": el orden no importa.