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Trigonometría Analítica

Precálculo

Trigonometría Analítica

Del triángulo al círculo unitario: la trig que realmente se usa en Cálculo.
Círculo unitarioIdentidades pitagóricasSuma de ángulos y ángulo doble

Círculo unitario

El círculo de radio 1 centrado en el origen. Cada punto en él es (cos⁡θ,sin⁡θ)( \cos \theta, \sin \theta ). Con esto, la trigonometría deja de ser solo triángulos y pasa a ser coordenadas.
Arrastra θ\theta por el círculo unitario: cos⁡θ\cos\theta es la coordenada x del punto (cateto horizontal) y sin⁡θ\sin\theta su altura (cateto vertical). Recorre los cuadrantes y verifica los signos CAST.

Reglas

Definición coordenada

P(θ)=(cos⁡θ,  sin⁡θ)en el cıˊrculo x2+y2=1P(\theta) = (\cos \theta,\; \sin \theta) \quad \text{en el círculo } x^2 + y^2 = 1
Cos = coordenada x (horizontal). Sin = coordenada y (vertical). Recordá: "x viene antes que y, cos antes que sin."
El ángulo θ\theta está en radianes. 180°=π180° = \pi rad, 90°=π/290° = \pi/2 rad, 45°=π/445° = \pi/4 rad.

Tabla de ángulos notables (de memoria)

θcos⁡θsin⁡θ010π/63/21/2π/42/22/2π/31/23/2π/201\begin{array}{c|cc} \theta & \cos \theta & \sin \theta \\ \hline 0 & 1 & 0 \\ \pi/6 & \sqrt{3}/2 & 1/2 \\ \pi/4 & \sqrt{2}/2 & \sqrt{2}/2 \\ \pi/3 & 1/2 & \sqrt{3}/2 \\ \pi/2 & 0 & 1 \end{array}
Para sin⁡\sin: los valores son 02,12,22,32,42\frac{\sqrt{0}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{4}}{2}: secuencia de raíces de 0 a 4. Para cos⁡\cos es la misma secuencia pero al revés.
No es necesario memorizarlos como pares. El truco de la secuencia k/2\sqrt{k}/2 cubre todo.

Signos por cuadrante (CAST)

Q1: todosQ2: sin(+)Q3: tan(+)Q4: cos(+)\text{Q1: todos} \quad \text{Q2: sin}(+) \quad \text{Q3: tan}(+) \quad \text{Q4: cos}(+)
Orden CAST (Q4→Q1→Q2→Q3): Cos, All, Sin, Tan. En cada cuadrante solo esas razones son positivas.
En Q2 y Q3 el coseno es negativo. En Q3 y Q4 el seno es negativo.

Errores clásicos

"cos⁡(π/3)=3/2\cos(\pi/3) = \sqrt{3}/2": confundo con seno.
"tan⁡(π/2)\tan(\pi/2) no está definida: la marco como 0."

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión
En el círculo unitario, el punto que define θ\theta es (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta). ¿Qué es cos⁡θ\cos\theta?
Comprueba tu comprensión
En el cuadrante Q2, ¿qué razón trigonométrica es positiva?

Identidades pitagóricas

Tres identidades que vienen del teorema de Pitágoras aplicado al círculo unitario. Son las herramientas de "transformación" de la trig.
El triángulo 33-44-55: respecto a θ\theta, sin⁡θ=opuestohip=35\sin\theta = \frac{\text{opuesto}}{\text{hip}} = \frac{3}{5} y cos⁡θ=adyacentehip=45\cos\theta = \frac{\text{adyacente}}{\text{hip}} = \frac{4}{5}. Como 32+42=523^2 + 4^2 = 5^2, al dividir entre 525^2 queda sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1.

Reglas

Identidad fundamental

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
Viene de x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 (círculo unitario) con x=cos⁡θx = \cos\theta, y=sin⁡θy = \sin\theta.
De esta se derivan las otras dos dividiéndola por cos⁡2θ\cos^2\theta o sin⁡2θ\sin^2\theta.

Identidades con tangente y secante

1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+cot⁡2θ=csc⁡2θ1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta \qquad 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta
Dividir sin⁡2+cos⁡2=1\sin^2 + \cos^2 = 1 por cos⁡2\cos^2 da la primera. Dividir por sin⁡2\sin^2 da la segunda.
Estas identidades aparecen frecuentemente en integrales trigonométricas.

Errores clásicos

"sin⁡2θ+cos⁡2θ=1⇒sin⁡θ+cos⁡θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 \Rightarrow \sin\theta + \cos\theta = 1"

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión
Usando sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1, ¿a qué equivale 1−cos⁡2θ1 - \cos^2\theta?

Suma de ángulos y ángulo doble

Permiten convertir sin⁡(2x)\sin(2x) en 2sin⁡xcos⁡x2\sin x \cos x, o cos⁡2x\cos^2 x en 1+cos⁡2x2\frac{1+\cos 2x}{2}. Indispensables para integrales y límites complejos.

Reglas

Suma de ángulos

sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b
cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b
Para sin: los signos exteriores son iguales (± arriba, ± abajo). Para cos: son opuestos (± arriba, ∓ abajo).
En cos⁡(a+b)\cos(a+b) el signo es −- (opuesto al del exterior). En cos⁡(a−b)\cos(a-b) el signo es ++.

Identidades de ángulo doble

sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a\sin(2a) = 2\sin a \cos a
cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=1−2sin⁡2a=2cos⁡2a−1\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 1 - 2\sin^2 a = 2\cos^2 a - 1
El seno doble siempre es 2⋅sin⁡⋅cos⁡2 \cdot \sin \cdot \cos. El coseno doble tiene 3 formas según lo que necesites eliminar.
La forma más útil para integrales: cos⁡2a=1+cos⁡2a2\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2} y sin⁡2a=1−cos⁡2a2\sin^2 a = \dfrac{1 - \cos 2a}{2} (despejadas).

Errores clásicos

"sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a + b) = \sin a + \sin b": el seno distribuye sobre la suma.
"cos⁡(2a)=2cos⁡a\cos(2a) = 2\cos a": igual que el seno doble pero con coseno.

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