Fundamentos
Despejes e Inecuaciones

Precálculo

Despejes e Inecuaciones

El cálculo vive en desigualdades. Sin estas herramientas, el dominio y los límites se vuelven oscuros.
Inecuaciones linealesInecuaciones cuadráticas: Método de signosValor AbsolutoDespejes con exponenciales y logaritmos

Inecuaciones lineales

Igual que una ecuación, con una regla adicional: al multiplicar o dividir por un negativo, el signo de desigualdad se invierte.
La recta es la frontera de y≤mx+by \leq mx + b: un lado cumple, el otro no. La ecuación de arriba cambia en vivo con los puntos.

Reglas

La única regla diferente: negativo invierte la desigualdad

Si a<b y c<0⇒ac>bc\text{Si } a < b \text{ y } c < 0 \Rightarrow ac > bc
Imagina la recta numérica: al multiplicar por −1-1, todos los puntos se reflejan: los de la derecha pasan a la izquierda.
Solo al multiplicar/dividir por negativo. Sumar/restar un negativo NO invierte el signo.

Notación de intervalos

x>a↔x∈(a,+∞)a≤x≤b↔x∈[a,b]x > a \leftrightarrow x \in (a, +\infty) \qquad a \leq x \leq b \leftrightarrow x \in [a, b]
Paréntesis ()() = el punto no se incluye. Corchete [][] = el punto sí se incluye.
∞\infty siempre va con paréntesis: el infinito nunca "se alcanza".

Errores clásicos

"−2x>6⇒x>−3-2x > 6 \Rightarrow x > -3": divide por −2-2 y mantuve el signo.
"x≤3x \leq 3 se escribe x∈(−∞,3)x \in (-\infty, 3)": uso paréntesis porque es "aproximado".

Inecuaciones cuadráticas: Método de signos

Para inecuaciones como x2−5x+6>0x^2 - 5x + 6 > 0 no puedes simplemente "despejar xx". El método de signos es sistemático y sin errores.
La tabla de signos ES esta gráfica: por encima del eje f(x)>0f(x)>0, por debajo f(x)<0f(x)<0, y el signo solo cambia en las raíces x=2x=2 y x=3x=3.

Reglas

Algoritmo de 4 pasos

f(x)>0 donde f(x) factorizado⇒tabla de signosf(x) > 0 \text{ donde } f(x) \text{ factorizado} \Rightarrow \text{tabla de signos}
Los factores lineales cambian de signo al pasar por su raíz. La tabla de signos traza esos cambios.
Siempre llevá todo a un lado (>0> 0 o <0< 0) antes de factorizar. Nunca canceles factores en una inecuación.

Errores clásicos

"x2>9⇒x>3x^2 > 9 \Rightarrow x > 3": solo la raíz positiva.
"(x−2)(x−3)>0(x-2)(x-3) > 0 → divido por (x−2)(x-2): x−3>0⇒x>3x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3."

Valor Absoluto

El valor absoluto mide distancia, sin importar la dirección. Es la base matemática de "cercanía", clave para la definición formal de límite.
∣x−2∣>3|x-2| > 3 = "a distancia mayor que 3 del 2": dos pedazos, x<−1x < -1 o x>5x > 5. Si fuera <3< 3, la solución sería el bloque del medio.

Reglas

Definición: distancia al origen

∣x∣={xsi x≥0−xsi x<0|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}
Siempre da un resultado no negativo. ∣−5∣=5|-5| = 5, ∣5∣=5|5| = 5.
En la definición, cuando x<0x < 0, se hace ∣x∣=−x|x| = -x (que es positivo). Ej: ∣−3∣=−(−3)=3|-3| = -(-3) = 3.

Ecuaciones con valor absoluto

∣u∣=a⇒u=aou=−a(a>0)|u| = a \Rightarrow u = a \quad \text{o} \quad u = -a \quad (a > 0)
Lo de adentro puede ser +a+a o −a-a: dos casos, dos ecuaciones.
Si a<0a < 0: no hay solución. ∣u∣=−3|u| = -3 no tiene solución (el VA nunca es negativo).

Inecuaciones con valor absoluto

∣u∣<a⇔−a<u<a∣u∣>a⇔u<−a o u>a|u| < a \Leftrightarrow -a < u < a \qquad |u| > a \Leftrightarrow u < -a \text{ o } u > a
<a< a: adentro del intervalo (un bloque). >a> a: afuera del intervalo (dos pedazos).
El aa debe ser positivo. Si a≤0a \leq 0 en ∣u∣<a|u| < a: sin solución. Si a≤0a \leq 0 en ∣u∣>a|u| > a: todos los reales.

Errores clásicos

"∣x∣=−x|x| = -x no tiene sentido: un valor absoluto no puede ser negativo."
"∣x∣<3⇒x<3|x| < 3 \Rightarrow x < 3": solo la condición positiva.

Despejes con exponenciales y logaritmos

Cuando la variable está en el exponente o dentro de un logaritmo, las herramientas algebraicas habituales no alcanzan.

Reglas

Exponencial y logaritmo son inversas una de la otra

ax=b⇒x=log⁡abln⁡(ex)=xeln⁡x=xa^x = b \Rightarrow x = \log_a b \qquad \ln(e^x) = x \qquad e^{\ln x} = x
Para despejar una variable en el exponente: aplica el logaritmo de ambos lados. Para despejar dentro de un log: aplica la exponencial de ambos lados.
ln⁡x\ln x solo está definido para x>0x > 0. Antes de aplicar: verificar dominio.

Propiedades del logaritmo para despejar

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡bln⁡ab=ln⁡a−ln⁡bln⁡(an)=nln⁡a\ln(ab) = \ln a + \ln b \quad \ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b \quad \ln(a^n) = n \ln a
Logaritmo convierte: multiplicación → suma, división → resta, potencia → factor.
No existe ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a + b) = \ln a + \ln b. Las propiedades son solo para multiplicación/división/potencia.

Errores clásicos

"ln⁡(a+b)=ln⁡a+ln⁡b\ln(a + b) = \ln a + \ln b": el logaritmo se distribuye sobre la suma.
"eln⁡3+ln⁡x=3+xe^{\ln 3 + \ln x} = 3 + x": exponencial distribuye sobre la suma.

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