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Factorización Avanzada

Precálculo

Factorización Avanzada

Cuando el trinomio no factoriza a simple vista, estas son las herramientas.
División Sintética: Regla de RuffiniCompletación de CuadradoRacionalización

División Sintética: Regla de Ruffini

Método rápido para dividir un polinomio por (x−r)(x - r) y factorizar polinomios de grado ≥3\geq 3.
Las raíces que buscas con Ruffini son los cortes con el eje x: 1,2,31, 2, 3 → P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).

Reglas

Paso 0: Encontrar candidatos a raíz

Si P(r)=0⇒(x−r) es factor de P(x)\text{Si } P(r) = 0 \Rightarrow (x - r) \text{ es factor de } P(x)
Candidatos racionales: r=±pqr = \pm\dfrac{p}{q} donde pp divide al término independiente y qq divide al coeficiente líder.
Siempre prueba r=1,−1,2,−2r = 1, -1, 2, -2 primero: son los más frecuentes en ejercicios.

Proceso de Ruffini: división tabla

P(x)=(x−r)⋅Q(x)+RP(x) = (x - r) \cdot Q(x) + R
Coeficientes en fila. Bajo el primero, multiplico por rr y sumo en diagonal. El último número es el residuo RR.
Si el polinomio tiene términos faltantes (ej: no hay x2x^2), colocá 0 en esa posición.

Errores clásicos

"P(2)≠0P(2) \neq 0, entonces 2 no puede ser raíz de ningún factor."
"Pongo los coeficientes del polinomio pero omito el término que falta porque es 0."

Completación de Cuadrado

Técnica para reescribir ax2+bx+cax^2 + bx + c como a(x−h)2+ka(x - h)^2 + k. Esencial para cónicas, integrales y análisis de funciones cuadráticas.
Completar el cuadrado no es un truco: es despejar el vértice. x2+6x+5=(x+3)2−4x^2+6x+5 = (x+3)^2 - 4 → vértice en (−3,−4)(-3, -4) (los valores iniciales de los sliders).

Reglas

Algoritmo: agrega y resta el término que falta

ax2+bx+c=a ⁣(x+b2a)2+c−b24aax^2 + bx + c = a\!\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}
El número mágico es (b2a)2\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2: lo sumas y restas para no cambiar el valor.
Si a≠1a \neq 1, primero sacá aa como factor antes de completar. Si no, el término que añadís no es (b/2)2\left(b/2\right)^2 sino (b/2a)2\left(b/2a\right)^2.

Errores clásicos

"x2+6xx^2 + 6x → agrego (6/2)2=9(6/2)^2 = 9, listo: (x+3)2(x+3)^2."
"2x2+8x2x^2 + 8x → el número mágico es (8/2)2=16(8/2)^2 = 16."

Racionalización

No solo para raíces cuadradas. El conjugado elimina cualquier diferencia de raíces o expresiones irracionales.

Reglas

El conjugado: cambia solo el signo del medio

Conjugado de (a+b)=(a−b)(a+b)(a−b)=a2−b2\text{Conjugado de } (a + b) = (a - b) \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2
El conjugado de cualquier binomio es el mismo binomio con el signo opuesto entre los dos términos.
Solo el signo del medio cambia. Los términos aa y bb en sí NO cambian.

Racionalización: multiplica arriba y abajo por el conjugado

f(x)u−v⋅u+vu+v=f(x)(u+v)u−v2\frac{f(x)}{\sqrt{u} - v} \cdot \frac{\sqrt{u} + v}{\sqrt{u} + v} = \frac{f(x)(\sqrt{u}+v)}{u - v^2}
Multiplicar por conjugadoconjugado\dfrac{\text{conjugado}}{\text{conjugado}} es multiplicar por 1: el valor no cambia, solo la forma.
Siempre multiplica numerador Y denominador. Nunca solo uno de los dos.

Errores clásicos

"Multiplico el numerador por el conjugado para eliminar la raíz."
"Conjugado de (x−2)(\sqrt{x} - 2) es (−x+2)(-\sqrt{x} + 2)": cambio los signos de todo.

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