Fundamentos
Álgebra de Combate

Precálculo

Álgebra de Combate

Las reglas que salvan o matan cualquier procedimiento de Cálculo.
Jerarquía de operacionesLeyes de exponentesProductos NotablesFactorización básicaFracciones complejas

Jerarquía de operaciones

Cuando hay varias operaciones en una expresión, existe un orden estricto. Saltárselo es la causa #1 de errores de cálculo.

Reglas

El orden que manda: PEMDAS

Pareˊntesis→Exponentes→MultDiv→Sum - Res\text{Paréntesis} \rightarrow \text{Exponentes} \rightarrow \frac{\text{Mult}}{\text{Div}} \rightarrow \text{Sum - Res}
Mnemónico: "Por Escaleras Mi Determinación Supera Retos" → P·E·M·D·S·R
Multiplicación y división tienen igual jerarquía: se resuelven de izquierda a derecha. Igual para suma y resta.

Cuidado con negativos y exponentes

(−a)2=a2vs−a2=−(a2)(-a)^2 = a^2 \qquad \text{vs} \qquad -a^2 = -(a^2)
Si el signo está dentro del paréntesis, el exponente lo afecta. Si está fuera, no.
Este error destruye el 30% de los cálculos con derivadas.

Errores clásicos

"2+3×4=202 + 3 \times 4 = 20": sumo primero porque voy de izquierda a derecha.
"(−2)2=−4(-2)^2 = -4": el cuadrado da negativo porque la base es negativa.

Leyes de exponentes

Las 7 leyes que transforman cualquier expresión con potencias. Son las mismas reglas que usarás para simplificar antes de derivar.

Reglas

Multiplicación: misma base, SUMA exponentes

am⋅an=am+na^m \cdot a^n = a^{m+n}
Misma base multiplicando → sumas los exponentes.
Solo aplica cuando las bases son idénticas. 23⋅322^3 \cdot 3^2 no se puede unir.

División: misma base, RESTA exponentes

aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Misma base dividiendo → restas (numerador menos denominador).
El orden importa: exponente de arriba menos el de abajo, no al revés.

Potencia de potencia: MULTIPLICA exponentes

(am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n}
Paréntesis elevado → multiplicas los dos exponentes.
No confundir con am⋅ana^m \cdot a^n (suma). Aquí hay paréntesis: (am)n(a^m)^n.

Exponente negativo: pasa al otro lado de la fracción

a−n=1an1a−n=ana^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \frac{1}{a^{-n}} = a^n
Exponente negativo = "pasa al otro piso de la fracción y se vuelve positivo".
El exponente negativo NO hace negativo el número. 2−3=1/82^{-3} = 1/8, no −8-8.

Exponente fraccionario: raíz y potencia

a1/n=anam/n=amn=(an)ma^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m
El denominador del exponente fraccionario indica el índice de la raíz.
Para que a1/na^{1/n} sea real (en R\mathbb{R}), si nn es par entonces a≥0a \geq 0.

Exponente cero

a0=1(a≠0)a^0 = 1 \quad (a \neq 0)
Cualquier base (distinta de cero) elevada a 0 es siempre 1.
000^0 es indeterminado. No aplica esta regla.

Errores clásicos

"am+an=am+na^m + a^n = a^{m+n}": cuando hay suma también se suman los exponentes.
"(ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n entonces (a+b)n=an+bn(a + b)^n = a^n + b^n"
"x−2=−x2x^{-2} = -x^2": el exponente negativo cambia el signo.

Productos Notables

Expansiones que hay que saber de memoria. Más importante aún: reconocerlas al revés para factorizar rápido.

Reglas

Cuadrado del binomio suma

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
Cuadrado del primero + doble del producto + cuadrado del último.
El término 2ab2ab es el que siempre se olvida. Sin él es el error más clásico del álgebra.

Cuadrado del binomio diferencia

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
Igual que la suma pero el término del medio es negativo.
El último término (+b2)(+b^2) es positivo: negativo por negativo.

Diferencia de cuadrados

(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
Al revés: a2−b2a^2 - b^2 se factoriza siempre como (a−b)(a+b)(a-b)(a+b). Busca este patrón en límites.
Aplica solo a la diferencia (a2−b2a^2 - b^2). La suma de cuadrados a2+b2a^2 + b^2 no factoriza en R\mathbb{R}.

Cubo del binomio

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3
Coeficientes: 1 · 3 · 3 · 1 (fila del triángulo de Pascal para potencia 3).
Los signos siguen el patrón: si es suma (+)(+) todo positivo; si es resta (−)(-) los impares son negativos.

Suma y diferencia de cubos

a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
Mnemónico del segundo factor: "cuadrado, opuesto, cuadrado". El signo del medio es opuesto al del binomio.
El segundo factor a2∓ab+b2a^2 \mp ab + b^2 nunca factoriza más en R\mathbb{R}.

Errores clásicos

"(a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2": el cuadrado se distribuye sobre la suma.
"a2+b2=a+b\sqrt{a^2 + b^2} = a + b": la raíz cancela el cuadrado de la suma.
"a2−b2=(a−b)2a^2 - b^2 = (a-b)^2": diferencia de cuadrados es cuadrado de la diferencia.

Factorización básica

Factorizar es des-multiplicar: convertir una suma en un producto. Es la herramienta #1 para resolver indeterminaciones 00\frac{0}{0} en límites.
Factorizar y encontrar raíces es lo mismo visto de dos lados: (x−3)(x+2)(x-3)(x+2) corta el eje en x=3x = 3 y x=−2x = -2.

Reglas

Factor común: lo primero que intentas SIEMPRE

ab+ac=a(b+c)ab + ac = a(b + c)
Saca el MCD de los coeficientes y la potencia más baja de cada letra.
Si sacas un término completo, en su lugar queda un 11, no un 00: x2+x=x(x+1)x^2 + x = x(x + 1).

Trinomio $x^2 + bx + c$: dos números mágicos

x2+bx+c=(x+p)(x+q)con p+q=b,  pq=cx^2 + bx + c = (x + p)(x + q) \quad\text{con } p+q = b,\; pq = c
Busca dos números que multiplicados den cc y sumados den bb.
Signos: si c>0c > 0 ambos llevan el signo de bb; si c<0c < 0 los signos son distintos.

Diferencia de cuadrados: la estrella de los límites

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
Dos cuadrados restándose → "suma por diferencia".
La suma a2+b2a^2 + b^2 no se factoriza en R\mathbb{R}.

Errores clásicos

"x2−9=(x−3)2x^2 - 9 = (x-3)^2": diferencia de cuadrados es cuadrado de la diferencia.
"x2+25=(x+5)(x−5)x^2 + 25 = (x+5)(x-5)": factorizo como diferencia de cuadrados.

Ponte a prueba

Comprueba tu comprensión
Factoriza x2+7x+10x^2 + 7x + 10
Comprueba tu comprensión
¿Cuál de estas NO se puede factorizar en los reales?

Fracciones complejas

Una fracción dentro de otra fracción. Pan de cada día en límites por definición y derivadas.

Reglas

División de fracciones: multiplica por el recíproco

  a/b  c/d=ab⋅dc=adbc\frac{\;a/b\;}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}
"Baja la de abajo invertida y multiplica." Divide = multiplica por el recíproco.
Solo se invierte la fracción del denominador, no la del numerador.

Simplificar con MCM interno

  ab+cd  e=  ad+bcbd  e=ad+bcbd⋅e\frac{\;\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\;}{e} = \frac{\;\frac{ad + bc}{bd}\;}{e} = \frac{ad + bc}{bd \cdot e}
Primero simplifica dentro de cada nivel. Luego aplica la regla de división.
Nunca canceles términos que están sumados. Solo se cancelan factores multiplicados.

Errores clásicos

"a+ba=1+b\dfrac{a + b}{a} = 1 + b": cancelo la aa de arriba y abajo.
"1/x+1/y1=1x+y\dfrac{1/x + 1/y}{1} = \dfrac{1}{x+y}": combino directamente.

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