Álgebra de Combate

Jerarquía de operaciones Leyes de exponentes Productos Notables Factorización básica Fracciones complejas

Jerarquía de operaciones

Antes de la regla

Ese orden se llama jerarquía de operaciones, y es estricto. Saltárselo es la causa #1 de errores de cálculo.

Reglas

El orden que manda: PEMDAS

\text{Paréntesis} \rightarrow \text{Exponentes} \rightarrow \frac{\text{Mult}}{\text{Div}} \rightarrow \text{Sum - Res}

Mnemónico: "Por Escaleras Mi Determinación Supera Retos" → P·E·M·D·S·R

Multiplicación y división tienen igual jerarquía: se resuelven de izquierda a derecha. Igual para suma y resta.

Inténtalo

Cuidado con negativos y exponentes

(-a)^2 = a^2 \qquad \text{vs} \qquad -a^2 = -(a^2)

Si el signo está dentro del paréntesis, el exponente lo afecta. Si está fuera, no.

Pasa cada vez que hay un menos delante de una potencia. Si fallas ahí, todo lo que sigue queda mal.

Inténtalo

Errores clásicos

"

2 + 3 \times 4 = 20

": sumo primero porque voy de izquierda a derecha.

"

(-2)^2 = -4

": el cuadrado da negativo porque la base es negativa.

Ponte a prueba

Leyes de exponentes

Antes de la regla

Cinco es

3 + 2

, y ahí está la primera ley: multiplicar potencias de la misma base suma los exponentes. Las demás salen del mismo conteo, y son las que usarás para simplificar antes de derivar.

Reglas

Multiplicación: misma base, SUMA exponentes

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Misma base multiplicando → sumas los exponentes.

Solo aplica cuando las bases son idénticas.

2^3 \cdot 3^2

no se puede unir.

Inténtalo

División: misma base, RESTA exponentes

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Misma base dividiendo → restas (numerador menos denominador).

El orden importa: exponente de arriba menos el de abajo, no al revés.

Inténtalo

Potencia de potencia: MULTIPLICA exponentes

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Paréntesis elevado → multiplicas los dos exponentes.

No confundir con

a^m \cdot a^n

(suma). Aquí hay paréntesis:

(a^m)^n

.

Inténtalo

Exponente negativo: pasa al otro lado de la fracción

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \qquad \frac{1}{a^{-n}} = a^n

Exponente negativo = "pasa al otro piso de la fracción y se vuelve positivo".

El exponente negativo NO hace negativo el número.

2^{-3} = 1/8

, no

-8

.

Inténtalo

Exponente fraccionario: raíz y potencia

a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m

El denominador del exponente fraccionario indica el índice de la raíz.

Para que

a^{1/n}

sea real (en

\mathbb{R}

), si

n

es par entonces

a \geq 0

.

Inténtalo

Exponente cero

a^0 = 1 \quad (a \neq 0)

Cualquier base (distinta de cero) elevada a 0 es siempre 1.

0^0

es indeterminado. No aplica esta regla.

Inténtalo

Errores clásicos

"

a^m + a^n = a^{m+n}

": cuando hay suma también se suman los exponentes.

"

(ab)^n = a^n b^n

entonces

(a + b)^n = a^n + b^n

"

x^{-2} = -x^2

": el exponente negativo cambia el signo.

Ponte a prueba

Productos Notables

Antes de la regla

Ese

2ab

que apareció es el corazón de los productos notables. Son expansiones que hay que saber de memoria, y sobre todo reconocer al revés para factorizar rápido.

Reglas

Cuadrado del binomio suma

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Cuadrado del primero + doble del producto + cuadrado del último.

El término

2ab

es el que siempre se olvida. Sin él es el error más clásico del álgebra.

Inténtalo

Cuadrado del binomio diferencia

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Igual que la suma pero el término del medio es negativo.

El último término

(+b^2)

es positivo: negativo por negativo.

Inténtalo

Diferencia de cuadrados

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

Al revés:

a^2 - b^2

se factoriza siempre como

(a-b)(a+b)

. Busca este patrón en límites.

Aplica solo a la diferencia (

a^2 - b^2

). La suma de cuadrados

a^2 + b^2

no factoriza en

\mathbb{R}

.

Inténtalo

Cubo del binomio

(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2 b + 3ab^2 \pm b^3

Coeficientes: 1 · 3 · 3 · 1 (fila del triángulo de Pascal para potencia 3).

Los signos siguen el patrón: si es suma

(+)

todo positivo; si es resta

(-)

los impares son negativos.

Inténtalo

Suma y diferencia de cubos

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

Mnemónico del segundo factor: "cuadrado, opuesto, cuadrado". El signo del medio es opuesto al del binomio.

El segundo factor

a^2 \mp ab + b^2

nunca factoriza más en

\mathbb{R}

.

Inténtalo

Errores clásicos

"

(a + b)^2 = a^2 + b^2

": el cuadrado se distribuye sobre la suma.

"

\sqrt{a^2 + b^2} = a + b

": la raíz cancela el cuadrado de la suma.

"

a^2 - b^2 = (a-b)^2

": diferencia de cuadrados es cuadrado de la diferencia.

Ponte a prueba

Factorización básica

Antes de la regla

Factorizar es des-multiplicar: convertir una suma en un producto. Es la herramienta #1 para resolver indeterminaciones

\frac{0}{0}

en límites.

Factorizar y encontrar raíces es lo mismo visto de dos lados:

(x-3)(x+2)

corta el eje en

x = 3

y

x = -2

.

Reglas

Factor común: lo primero que intentas SIEMPRE

ab + ac = a(b + c)

Saca el MCD de los coeficientes y la potencia más baja de cada letra.

Si sacas un término completo, en su lugar queda un

1

, no un

0

:

x^2 + x = x(x + 1)

.

Inténtalo

Trinomio $x^2 + bx + c$: dos números mágicos

\begin{gathered} x^2 + bx + c = (x + p)(x + q) \\[2pt] \text{con } p+q = b,\; pq = c \end{gathered}

Busca dos números que multiplicados den

c

y sumados den

b

.

Signos: si

c > 0

ambos llevan el signo de

b

; si

c < 0

los signos son distintos.

Inténtalo

Diferencia de cuadrados: la estrella de los límites

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Dos cuadrados restándose → "suma por diferencia".

La suma

a^2 + b^2

no se factoriza en

\mathbb{R}

.

Inténtalo

Errores clásicos

"

x^2 - 9 = (x-3)^2

": diferencia de cuadrados es cuadrado de la diferencia.

"

x^2 + 25 = (x+5)(x-5)

": factorizo como diferencia de cuadrados.

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Fracciones complejas

Antes de la regla

Dividir por una fracción es multiplicar por su recíproco, y una fracción compleja es solo eso con más pisos. Pan de cada día en límites por definición y derivadas.

Reglas

División de fracciones: multiplica por el recíproco

\frac{\;a/b\;}{c/d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

"Baja la de abajo invertida y multiplica." Divide = multiplica por el recíproco.

Solo se invierte la fracción del denominador, no la del numerador.

Inténtalo

Simplificar con MCM interno

\frac{\;\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\;}{e} = \frac{\;\frac{ad + bc}{bd}\;}{e} = \frac{ad + bc}{bd \cdot e}

Primero simplifica dentro de cada nivel. Luego aplica la regla de división.

Nunca canceles términos que están sumados. Solo se cancelan factores multiplicados.

Inténtalo

Errores clásicos

"

\dfrac{a + b}{a} = 1 + b

": cancelo la

a

de arriba y abajo.

"

\dfrac{1/x + 1/y}{1} = \dfrac{1}{x+y}

": combino directamente.

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